已知函數(shù)f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R)，
(1)若曲線y=f(x)在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)g(x)=x2-2x，若對任意x1∈(0，2]，均存在x2∈(0，2]，使得f(x1)＜g(x2)，求a的取值范圍。
解：，
(1)由題意知f′(1)=f′(3)，解得；
(2)，
①當(dāng)a≤0時，x＞0，ax-1＜0，在區(qū)間(0，2)上，f′(x)＞0；在區(qū)間(2，+∞)上，f′(x)＜0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(2，+∞)；
②當(dāng)時，，在區(qū)間(0，2)和上，f′(x)＞0；在區(qū)間上，f′(x)＜0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，2)和，單調(diào)遞減區(qū)間是；
③當(dāng)時，，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，+∞)；
④當(dāng)時，，在區(qū)間和(2，+∞)上，f′(x)＞0；在區(qū)間上，f′(x)＜0，
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是。
(3)由題意知，在(0，2]上有f(x)max＜g(x)max，
在(0，2]上，易得g(x)max=0，
由(2)可知，
①當(dāng)時，f(x)在(0，2]上單調(diào)遞增，
故f(x)max=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2=-2a-2+2ln2，
所以，-2a-2+2ln2＜0，解得a＞ln2-1，
故ln2-1＜；
②當(dāng)時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故，
由可知，所以2lna＞-2，-2lna＜2，
所以，-2-2lna＜0，f(x)max＜0，故；
綜上所述，a＞ln2-1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x+1
．
（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總是為增函數(shù)；
（2）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時，求f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)
a-x  ，x≤0
1  ，0＜x≤3
(x-5)2-a，x＞3
（a＞0且a≠1）圖象經(jīng)過點(diǎn)Q（8，6）．
（1）求a的值，并在直線坐標(biāo)系中畫出函數(shù)f（x）的大致圖象；
（2）求函數(shù)f（t）-9的零點(diǎn)；
（3）設(shè)q（t）=f（t+1）-f（t）（t∈R），求函數(shù)q（t）的單調(diào)遞增區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
1
2x+1
，若f（x）為奇函數(shù)，則a=（　�。�
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
a(x-1)x2
，其中a＞0．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線x-y-1=0是曲線y=f（x）的切線，求實(shí)數(shù)a的值；
（III）設(shè)g（x）=xlnx-x2f（x），求g（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=a-
12x-1
，（a∈R）
（1）求f（x）的定義域；
（2）若f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（3）考察f（x）在定義域上單調(diào)性的情況，并證明你的結(jié)論．

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