定義在定義域D內(nèi)的函數(shù)y=f(x),若對任意的x1、x2∈D,都有|f(x1)－f(x2)|＜1,則稱函數(shù)y=f(x)為“Storm函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)．
（1）若，求過點處的切線方程；
（2）函數(shù)是否為“Storm函數(shù)”?如果是,請給出證明;如果不是,請說明理由．
（1）（2）當c≤－時，ax2+bx+c≤0的解集為R
本題屬于信息遷移題,主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值．（1），，切線方程為．
（2）函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的導數(shù)是f′(x)=3x2－1,
當3x2－1=0時,即x=±,
當x＜時,f′(x)=3x2－1＜0;當x＞時,f′(x)=3x2－1＞0,
故f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極小值是a－．
同理,f(x)在x∈［－1,1］內(nèi)的極大值是a+．
∵f(1)=f(－1)=a,
∴函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)的最大值是a+,最小值是a－,
因為|f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|,
故|f(x1)－f(x2)|＜|fmax－fmin|=＜1．
所以函數(shù)f(x)=x3－x+a(x∈［－1,1］,a∈R)是“Storm函數(shù)”．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù).
（Ⅰ）若、，求證：①；
②.
（Ⅱ）若，，其中，求證：
；
（Ⅲ）對于任意的、、，問：以的值為長的三條線段是否可構(gòu)成三角形？請說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分14分） 已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個不等實根，求的取值范圍（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（Ⅲ）令，若的圖象與軸交于，(其中)，的中點為，求證：在處的導數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（本小題滿分12分）已知函數(shù)．
（I）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
（II）令，是否存在實數(shù)，使得當時，函數(shù)的最小值是，若存在，求出實數(shù)的值，若不存在，說明理由？
（III）當時，證明：．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為4，求的值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)(a∈R).
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）當時，求單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若對任意及，恒有
成立，求實數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

定義在上的函數(shù)滿足，為

的導函數(shù)，已知函數(shù)的圖像如右圖所示，
若兩正數(shù)滿足，則的取值范圍是                ．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)
（Ⅰ）若，函數(shù)是否有極值，若有則求出極值，若沒有，請說明理由.
（Ⅱ）若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)p的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)，，函數(shù)的圖象與軸的交點也在函數(shù)的圖象上，且在此點有公共切線.
（Ⅰ）求、的值；
（Ⅱ）對任意的大小.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案