已知函數(shù)滿足如下條件：當(dāng)時(shí)，，且對(duì)任
意，都有.
（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的解析式；
（3）是否存在，、、、、，使得等式
成立？若存在就求出（、、、、），若不存在，說明理由.

（1）；（2）；（3）詳見解析.

解析試題分析：（1）先求出與的值，利用點(diǎn)斜式求出相應(yīng)的切線方程；（2）利用題中的條件結(jié)合迭
代法求出函數(shù)在區(qū)間上的解析式；（3）構(gòu)造新函數(shù)，考
查函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求出函數(shù)在區(qū)間上
的最小值，于是得到，然后利用分組求和法與錯(cuò)位相減法來證明
題中相應(yīng)的等式.
（1）時(shí)，，，
所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/57/4/thaea1.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，當(dāng)，時(shí)，，

；
（3）考慮函數(shù)，，，
則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
所以，當(dāng)，時(shí)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.
所以，，
而，
令，則，
兩式相減得，
，
所以，，
故，
所以，，
當(dāng)且僅當(dāng)，、、、、時(shí)，
，
所以，存在唯一一組實(shí)數(shù)，、、、、，
使得等式成立.
考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.函數(shù)的解析式；3.分組求和法與錯(cuò)位相減法

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
若在上的最大值和最小值分別記為，求；
設(shè)若對(duì)恒成立，求的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈R.
(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；
(2)當(dāng)a≠時(shí)，求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．

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已知函數(shù),函數(shù)
⑴當(dāng)時(shí),求函數(shù)的表達(dá)式;
⑵若,函數(shù)在上的最小值是2 ,求的值;
(3)⑵的條件下,求直線與函數(shù)的圖象所圍成圖形的面積．

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已知函數(shù),
(1)若函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝loga(ax2－x)在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)？如果存在，求出a的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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已知函數(shù)f(x)＝ln x＋2x，g(x)＝a(x2＋x)．
(1)若a＝，求F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若f(x)≤g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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（14分）（2011•廣東）設(shè)a＞0，討論函數(shù)f（x）=lnx+a（1﹣a）x2﹣2（1﹣a）x的單調(diào)性．

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已知函數(shù).
（1）當(dāng)a=l時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）令，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)g(x)最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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