如圖,已知拋物線(xiàn)C1:x2+by=b2經(jīng)過(guò)橢圓C2:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn).

(1)求橢圓C2的離心率;

(2)設(shè)點(diǎn)Q(3,b),又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個(gè)交點(diǎn),若△QMN的重心在拋物線(xiàn)C1上,求C1和C2的方程.

 

【答案】

（1） （2）x2+y=1 +y2=1

【解析】

解:(1)因?yàn)閽佄锞�(xiàn)C1經(jīng)過(guò)橢圓C2的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-c,0),F2(c,0),

所以c2+b×0=b2,

即c2=b2.

又a2=b2+c2=2c2,

所以橢圓C2的離心率e=.

(2)由(1)可知a2=2b2,

橢圓C2的方程為+=1.

聯(lián)立拋物線(xiàn)C1的方程x2+by=b2,

得2y2-by-b2=0,

解得y=-或y=b(舍去),

所以x=±b,

即M（b,-）,N（b,-）,

所以△QMN的重心坐標(biāo)為(1,0).

因?yàn)橹匦脑?/span>C1上,

所以12+b×0=b2,得b=1.

所以a2=2.

所以?huà)佄锞�(xiàn)C1的方程為x2+y=1,

橢圓C2的方程為+y2=1.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C1的方程及其準(zhǔn)線(xiàn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C2的兩條切線(xiàn)，M、N分別為兩個(gè)切點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線(xiàn)MN的距離為d，求d的最小值．

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12
x2+1上．
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（Ⅱ）過(guò)拋物C1上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線(xiàn)C2的兩條切線(xiàn)PM、PN，切點(diǎn)M、N．若PM、PN的斜率積為m，且m∈[2，4]，求|OP|的取值范圍．

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精英家教網(wǎng)如圖，已知拋物線(xiàn)C1：x2=2py（p＞0）與圓C2：x2+y2=
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交于M、N兩點(diǎn)，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與圓C2相切．
（�。┤糁本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C1也相切，求直線(xiàn)l的方程；
（ⅱ）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C1交與不同的A、B兩點(diǎn)，求
OA
•
OB
的取值范圍．

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（14分）如圖，已知拋物線(xiàn)C1： y=x2, 與圓C2： x2+(y+1)2="1," 過(guò)y軸上一點(diǎn)A（0, a）（a>0）作圓C2的切線(xiàn)AD，切點(diǎn)為D（x0, y0）.

（1）證明：(a+1)(y0+1)=1

（2）若切線(xiàn)AD交拋物線(xiàn)C1于E，且E為AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)A縱坐標(biāo)a.

 

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如圖，已知拋物線(xiàn)C1：x2=2py（p＞0）與圓交于M、N兩點(diǎn)，
且∠MON=120°．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C1的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l與圓C2相切．
（�。┤糁本�(xiàn)l與拋物線(xiàn)C1也相切，求直線(xiàn)l的方程；
（ⅱ）若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C1交與不同的A、B兩點(diǎn)，求的取值范圍．

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