Question

設集合A為函數y=ln（-x²-2x+8）的定義域，集合B為函數y=x+

1

x+2

（x＞-2）的值域，集合C為不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集，（1）求A∩B；（2）若C⊆C_RA，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：集合的包含關系判斷及應用,交集及其運算

專題：計算題,集合

分析：（1）通過對數函數的定義域求出集合A，函數的值域求出集合B，然后求解A與B的交集．
（2）求出A的補集，利用C⊆∁_RA，通過a的范圍，討論不等式的解集，求出a的范圍即可．

解答： 解：（1）∵-x²-2x+8＞0，
∴解得A=（-4，2）．
∵x＞-2，∴y=x+

1

x+2

=x+2+

1

x+2

-2≥0．
∴B=[0，+∞）；
∴A∩B=[0，2）；
（2）∵C_RA=（-∞，-4]∪[2，+∞），C⊆C_RA，
若a＜0，不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是（-∞，

1

a

]∪[2，+∞），故定有

1

a

≤-4得-

1

4

≤a＜0．
若a＞0，則不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是∅，否則不滿足題意．
若a=0，不等式（ax-1）（x-2）≤0的解集只能是[2，+∞），滿足題意，所以a=0成立．
∴a的范圍為0≥a≥-

1

4

．

點評：本題主要考查了集合的交并補混合運算，較為簡單，關鍵是將各集合的元素計算出來．考查分類討論思想．