Question

設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）=

3x

a

+

a

3x

是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）求函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件即可求函數(shù)f（x）的定義域和值域
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
則f（-x）=f（x），
即

3-x

a

+

a

3-x

=

3x

a

+

a

3x

，
即

1

a•3x

+a•3x=

3x

a

+

a

3x

，
即（a-

1

a

）（3^x-

1

3x

）=0，
則a-

1

a

=0，解得a=1或a=-1（舍）；
（2）∵a=1，
∴f（x）=3x+

1

3x

，
設(shè)設(shè)x₁，x₂為區(qū)間（0，+∞）內(nèi)的任意兩個值，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=3x1+

1

3x1

-3x2-

1

3x2

=（3x1-3 x2）•

3x1•3x2-1

3x13x2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴3x1-3 x2＜0，3x13 x2＞1，
則f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵f（x）=3x+

1

3x

≥2

3x• 1 3x

=2，當(dāng)且僅當(dāng)3x=

1

3x

，
即3^x=1，則x=0時，取等號，
故函數(shù)的值域?yàn)閇2，+∞）．

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)函數(shù)單調(diào)性和值域的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．