【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形,∠BAD=60°,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,E、F分別是PA、PC的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明:PA∥平面FBD;
(Ⅱ)若PA=1,在棱PC上是否存在一點(diǎn)M使得二面角E﹣BD﹣M的大小為60°.若存在,求出PM的長(zhǎng),不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】證明:(Ⅰ)連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OF, ∵O、F分別是AC、PC的中點(diǎn),
∴FO∥PA
∵PA不在平面FBD內(nèi),
∴PA∥平面FBD
解:(Ⅱ) 解法一:(先猜后證)點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),即為點(diǎn)F,
連接EO,∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥AC,又∵ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∴BD⊥平面PAC,則BD⊥EO,BD⊥FO,
∴∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角
連接EF,則EF∥AC,∴EF⊥FO,
∵EF= = ,
在Rt△OFE中,tan∠EOF= =
,∴PM=1.
解法二:(向量方法探索)
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,分別以射線OA,OB,OF為x,y,z軸的正半軸,
建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,

由題意可知各點(diǎn)坐標(biāo)如下:
O(0,0,0),A( ,0,0),B(0, ,0),D(0, ,0),P( ,0,1),E( ,0, ),
設(shè)平面EBD的法向量為 =(x,y,z),
=(0,1,0), =( , , ),
,取x=1,得 =(1,0,﹣ ),
設(shè)平面BDM的法向量為 =(a,b,c),點(diǎn)M(x0 , y0 , z0),
則由 ,得M( ,0,1﹣λ),
=( ), =( ,﹣ ,1﹣λ),
,取a=1,解得 =(1,0, ),
由已知可得cos60°= = ,解得 (舍),
∴點(diǎn)M為棱PC的中點(diǎn).∴PM=1.
【解析】(Ⅰ)連接AC交BD于點(diǎn)O,連接OF,推導(dǎo)出FO∥PA,由此能證明PA∥平面FBD.(Ⅱ) 法一:(先猜后證)點(diǎn)M為PC的中點(diǎn),即為點(diǎn)F,連接EO,AC⊥BD,BD⊥EO,BD⊥FO,從而∠EOF就是二面角E﹣BD﹣F的平面角,由此能求出PM=1.法二:(向量方法探索)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖所示,分別以射線OA,OB,OF為x,y,z軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz,利用向量法能求出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

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