Question

3．已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程為ρ=1，以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點，極軸為x的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy．
（1）若曲線${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）與曲線C₁相交于兩點A，B，求|AB|；
（2）若M是曲線C₁上的動點，且點M的直角坐標(biāo)為（x，y），求（x+1）（y+1）的最大值．

Answer 1

分析 （1）C₁：ρ=1化為直角坐標(biāo)方程為${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）可化為${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），代入${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，化簡得${t^2}+3\sqrt{2}t+4=0$，設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出．
（2）M（x，y）在曲線C₁上，設(shè)$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)），可得（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，令$sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，則$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，代入化簡即可得出．

解答 解：（1）C₁：ρ=1化為直角坐標(biāo)方程為${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\end{array}\right.（t$為參數(shù)）可化為${C_2}：\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\\ y=2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t\end{array}\right.（t$為參數(shù)），
代入${C_1}：{x^2}+{y^2}=1$，得${（1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}+{（2+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t）^2}=1$，化簡得${t^2}+3\sqrt{2}t+4=0$，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，則${t_1}+{t_2}=-3\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=4$，
∴$|{AB}|=|{{t_1}-{t_2}}|=\sqrt{{{（{t_1}-{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{2}$．
（2）M（x，y）在曲線C₁上，設(shè)$\left\{\begin{array}{l}x=cosθ\\ y=sinθ\end{array}\right.（θ$為參數(shù)）
則（x+1）（y+1）=（cosθ+1）（sinθ+1）=sinθcosθ+sinθ+cosθ+1，
令$sinθ+cosθ=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，則$sinθcosθ=\frac{{{t^2}-1}}{2}$，
那么$（x+1）（y+1）=\frac{{{t^2}-1}}{2}+t+1=\frac{1}{2}{t^2}+t+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{（t+1）^2}$，
∴$（x+1）{（y+1）_{max}}=\frac{1}{2}{（\sqrt{2}+1）^2}$．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程互化、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用、直線與曲線相交弦長問題、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．