Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC的中點，PA=PD=2，BC=$\frac{1}{2}$AD=1，CD=$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求證：平面PBQ⊥平面PAD；
（Ⅱ）求四面體C-BQM的體積．

Answer 1

分析 （I）由已知可得：四邊形BCDQ為平行四邊形．得到CD∥BQ．利用面面垂直的性質可得：BQ⊥平面PAD．進而得到平面平面PBQ⊥平面PAD．
（II）利用V_C-BQM=V_M-BCQ，且V_M-BCQ=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$，即可得出．

解答 （I）證明：∵AD∥BC，$BC=\frac{1}{2}AD$，Q為AD中點，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形．
∴CD∥BQ．
∵∠ADC=90°，∴∠AQB=90°，即BQ⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
BQ?平面ABCD，∴BQ⊥平面PAD．
∵BQ?平面PBQ，
∴平面平面PBQ⊥平面PAD．
（II）解：∵V_C-BQM=V_M-BCQ，且V_M-BCQ=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$，
由（I）可知：四邊形BCDQ為矩形，∴S_△BCQ=$\frac{1}{2}BQ•BC$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，在Rt△PDQ，PD²=PQ²+DQ²，PQ=$\sqrt{3}$，
∴V_P-BQM=$\frac{1}{2}{V}_{P-BCQ}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了梯形平行四邊形與矩形的性質、線面面面垂直的判定與性質定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．