Question

2．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為3的圓，且AB是圓的直徑，過點D的圓的切線與BA的延長線交于點M，∠BMD的平分線分別交AD、BD于點E、F，AC、BD交于點P．
（Ⅰ）證明：DE=DF；
（Ⅱ）若DM=3$\sqrt{3}$，AP=2CP=2$\sqrt{3}$，求BP的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：DE=DF，只要證明∠DEF=∠DFE；
（Ⅱ）先求出∠ABD=30°，BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$，再利用相交弦定理，即可求BP的長．

解答 （Ⅰ）證明：∵MD是切線，AD是弦，
∴∠ADM=∠ABD，
∵∠BMF=∠DMF，
∴∠BMF+∠ABD=∠ADM+∠DMF，
∵∠DEF=∠ADM+∠DMF，∠DFE=∠BMF+∠ABD，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF；
（Ⅱ）解：連接OD，則
∵MD是切線，
∴OD⊥MD，
∵OD=3，MD=3$\sqrt{3}$，
∴∠MOD=60°，∴∠ABD=30°，
Rt△ABD中，AB=6，∴BD=ABcos∠ABD=3$\sqrt{3}$，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，
∴AP•PC=BP•PD，
∴2$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=BP•（3$\sqrt{3}$-BP），
∴BP=$\sqrt{3}$或2$\sqrt{3}$，
∵BP＞CP，∴BP=2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查相交弦定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．