Question

12．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，點E、F分別在邊AB、DC上，M為AD的中點，且$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，則△MEF的面積的取值范圍為（　�。�

• A． $[{1，\frac{5}{4}}]$
• B． [1，2]
• C． $[{\frac{1}{2}，\frac{5}{4}}]$
• D． $[{\frac{1}{2}，\frac{3}{2}}]$

Answer 1

分析 由題意利用兩個向量垂直的條件可得ME⊥MF，設(shè)∠FMD=θ，求得$\frac{1}{2}$≤tanθ≤2，利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得△MEF的面積S=$\frac{1}{2}$•ME•MF=$\frac{1}{sin2θ}$=$\frac{1}{2}•tanθ$+$\frac{1}{2tanθ}$，令x=tanθ，再利用函數(shù)y=ax+$\frac{1}{x}$的性質(zhì)，求得S（x）的范圍．

解答 解：在正方形ABCD中，∵AB=2，點E、F分別在邊AB、DC上，M為AD的中點，且$\overrightarrow{ME}•\overrightarrow{MF}$=0，∴ME⊥MF．
設(shè)∠FMD=θ，則∠EMA=90°-θ，
∵tanθ∈（0，2]，且cot（90°-θ）=$\frac{1}{tanθ}$∈（0，2]，∴$\frac{1}{2}$≤tanθ≤2．
∵MD=MA=1，∴△MEF的面積S=$\frac{1}{2}$•ME•MF=$\frac{1}{2}$•$\frac{MA}{cos（90°-θ）}$•$\frac{MD}{cosθ}$=$\frac{1}{sin2θ}$=$\frac{{tan}^{2}θ+1}{2tanθ}$=$\frac{1}{2}•tanθ$+$\frac{1}{2tanθ}$，
令x=tanθ，△MEF的面積S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
顯然S（x）在[$\frac{1}{2}$，1]上是減函數(shù)，在[1，2]上是增函數(shù)，S（1）=1，
由于當x=$\frac{1}{2}$ 時，S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$=$\frac{5}{4}$；當 x=2時，S（x）=$\frac{5}{4}$，
故S（x）=$\frac{x}{2}$+$\frac{1}{2x}$在區(qū)間∈[$\frac{1}{2}$，2]上的最小值為1，最大值為$\frac{5}{4}$，即1≤S≤$\frac{5}{4}$，
故選：A．

點評 本題主要考查兩個向量垂直的條件，直角三角形中的邊角關(guān)系，三角恒等變換，函數(shù)y=ax+$\frac{1}{x}$的性質(zhì)，屬于中檔題．