Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=0，a₂=2，且對(duì)任意的m，n∈N^*，都有a_2m-1+a_2n-1=2a_m+n-1+2（m-n）²
（1）求a₃，a₄，a₅的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）是否存在互不相等的正整數(shù)p，q，r同時(shí)滿足p，q，r為等差數(shù)列且a_p，a_q，a_r也為等差數(shù)列？若存在，求出所有的p，q，r；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在已知數(shù)列遞推式中分別取m=2，n=1；m=3，n=1；m=3，n=2即可求得a₃，a₄，a₅的值；
（2）在已知數(shù)列遞推式中取m=1，得a₁+a_2n-1=2a_n+2（1-n）²，取m=2，得a₃+a_2n-1=2a_n+1+2（2-n）²，兩式作差后利用累加法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）假設(shè)存在互不相等的正數(shù)p，q，r滿足題意，由等差數(shù)列的性質(zhì)列式，同時(shí)結(jié)合（2）可得p²-p+r²-r=2q²-2q，進(jìn)一步推出p=r=q，與p，q，r互不相等矛盾．

解答 解：（1）由a₁=0，a₂=2，
令m=2，n=1得，a₃+a₁=2a₂+2，解得a₃=6，
令m=3，n=1得，a₅+a₁=2a₃+8，解得a₅=20，
令m=3，n=2得，a₃+a₅=2a₄+2，解得a₄=12；
（2）令m=1，得a₁+a_2n-1=2a_n+2（1-n）²，
令m=2，得a₃+a_2n-1=2a_n+1+2（2-n）²，
兩式相減得：a_n+1-a_n=2n，
∴${a}_{n}-{a}_{1}=2[1+2+3+…+（n-1）]=2×\frac{n（n-1）}{2}$=n（n-1）．
又a₁=0，故a_n=n（n-1）；
（3）假設(shè)存在互不相等的正數(shù)p，q，r滿足題意，
則p=r=2q，且a_p+a_r=2a_q，
由（2）知，p²-p+r²-r=2q²-2q，
即p²+r²=2q²，從而（p+r）-2pr=2q²，
故pr=q²，
∴p=r=q，與p，q，r互不相等矛盾．
∴不存在互不相等的正整數(shù)p，q，r同時(shí)滿足p，q，r為等差數(shù)列且a_p，a_q，a_r也為等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了由數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了反證法思想在解題中的運(yùn)用，是中檔題．