Question

如圖，在長方體ABCD-A′B′C′D′中，DA=DC=2，DD′=1，A′C′與B′D′相交于點O′，點P在線段BD上（點P與點B不重合）．
（1）若異面直線O′P與BC′所成角的余弦值為

55

55

，求DP的長度；
（2）若DP=

3 2

2

，求平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）以

DA

，

DC

，

DD′

為一組正交基底，建立空間直角坐標系D-xyz，由此利用向量法能求出DP的長度．（2）求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量，利用向量法求出設平面PA'C'與平面DC'B所成角的余弦值，由此能求出平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值．

解答： 解：（1）以

DA

，

DC

，

DD′

為一組正交基底，
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，
由題意，知D（0，0，0），A'（2，0，1），B（2，2，0），C'（0，2，1），O'（1，1，1）．設P（t，t，0），
∴

O′P

=(t-1，t-1，-1)，

BC′

=(-2，0，1)．
設異面直線O'P與BC'所成角為θ，
則cosθ=

| O′P • BC′ |

| O′P |•| BC′ |

=

|-2(t-1)-1|

2(t-1)2+1 • 5

=

55

55

，
化簡得：21t²-20t+4=0，
解得：t=

2

3

或t=

2

7

，DP=

2

3

2

或DP=

2

7

2

．…（5分）
（2）∵DP=

3 2

2

，∴P(

3

2

，

3

2

，0)，

DC′

=(0，2，1)，

DB

=(2，2，0)，

PA′

=(

1

2

，-

3

2

，1)，

PC′

=(-

3

2

，

1

2

，1)，
設平面DC'B的一個法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
∴

n1 • DC′ =0 n1 • DB =0

，∴

2y1+z1=0 2x1+2y1=0

，
即

z1=-2y1 x1=-y1

，取y₁=-1，

n1

=(1，-1，2)，
設平面PA'C'的一個法向量為

n2

=(x2，y2，z2)，
∴

n2 • PA′ =0 n2 • PC′ =0

，∴

1 2 x2- 3 2 y2+z2=0 - 3 2 x2+ 1 2 y2+z2=0

，
即

z2=y2 x2=y2

，取y₂=1，

n2

=(1，1，1)，
設平面PA'C'與平面DC'B所成角為φ，
∴|cosφ|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

2

6 • 3

=

2

3

，
∴sinφ=

7

3

．…（10分）

點評：本題考查線段長的求法，考查二面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．