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如圖,在長方體ABCD-A′B′C′D′中,DA=DC=2,DD′=1,A′C′與B′D′相交于點O′,點P在線段BD上(點P與點B不重合).
(1)若異面直線O′P與BC′所成角的余弦值為
55
55
,求DP的長度;
(2)若DP=
3
2
2
,求平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值.
考點:二面角的平面角及求法,異面直線及其所成的角
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(1)以
DA
,
DC
DD′
為一組正交基底,建立空間直角坐標系D-xyz,由此利用向量法能求出DP的長度.(2)求出平面DC'B的法向量和平面PA'C'的法向量,利用向量法求出設平面PA'C'與平面DC'B所成角的余弦值,由此能求出平面PA′C′與平面DC′B所成角的正弦值.
解答: 解:(1)以
DA
DC
,
DD′
為一組正交基底,
建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz,
由題意,知D(0,0,0),A'(2,0,1),B(2,2,0),C'(0,2,1),O'(1,1,1).設P(t,t,0),
O′P
=(t-1,t-1,-1)
BC′
=(-2,0,1)

設異面直線O'P與BC'所成角為θ,
cosθ=
|
O′P
BC′
|
|
O′P
|•|
BC′
|
=
|-2(t-1)-1|
2(t-1)2+1
5
=
55
55
,
化簡得:21t2-20t+4=0,
解得:t=
2
3
t=
2
7
DP=
2
3
2
DP=
2
7
2
.…(5分)
(2)∵DP=
3
2
2
,∴P(
3
2
,
3
2
,0)
,
DC′
=(0,2,1)
,
DB
=(2,2,0)
PA′
=(
1
2
,-
3
2
,1)
,
PC′
=(-
3
2
,
1
2
,1)

設平面DC'B的一個法向量為
n1
=(x1,y1z1)
,
n1
DC′
=0
n1
DB
=0
,∴
2y1+z1=0
2x1+2y1=0
,
z1=-2y1
x1=-y1
,取y1=-1,
n1
=(1,-1,2)
,
設平面PA'C'的一個法向量為
n2
=(x2,y2,z2)

n2
PA′
=0
n2
PC′
=0
,∴
1
2
x2-
3
2
y2+z2=0
-
3
2
x2+
1
2
y2+z2=0
,
z2=y2
x2=y2
,取y2=1,
n2
=(1,1,1)
,
設平面PA'C'與平面DC'B所成角為φ,
|cosφ|=
|
n1
n2
|
|
n1
|•|
n2
|
=
2
6
3
=
2
3
,
sinφ=
7
3
.…(10分)
點評:本題考查線段長的求法,考查二面角的正弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
練習冊系列答案
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下列各函數中,其圖象經過點(1,0)的是( 。
A、y=x2+1
B、y=
1
x
C、y=3x
D、y=log2x

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2
(a-b)

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5
,AC=
3
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在平面直角坐標系中,曲線C的方程為
x=cosθ
y=sinθ
(θ為參數),在以此坐標系的原點為極點,x軸的正半軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρsin(θ+
π
4
)=1,則直線l與曲線C的公共點共有
 
個.

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把半徑是3,4,5的三個鐵球熔鑄成一個大球,則大球的體積是( 。
A、298πB、288π
C、144πD、72π

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已知命題p:?x0∈R,x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+an≤0,則( 。
A、¬p:?x∈R,xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an≤0
B、¬p:?x0∈R,x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+an>0
C、¬p:?x∈R,xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an>0
D、¬p:?x0∈R,x0n+a1x0n-1+a2x0n-2+…+an≥0

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