Question

已知兩定點(diǎn)M（-1，0），N（1，0），若直線上存在點(diǎn)P，使得|PM|+|PN|=4，則稱該直線為“A型直線”，給出下列直線：①y=x+1；②y=2；③y=-x+3；④y=-2x+3，其中是“A型直線”的有

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運(yùn)用橢圓的定義可得，點(diǎn)P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1，把①，②，③，④分別和

x2

4

+

y2

3

=1，聯(lián)立方程組，如果方程組有解，則這條直線就是“A型直線”．
由判別式大于0，即可判斷①；代入y=2，無(wú)解，即可判斷②；
由判別式小于0，即可判斷③；由判別式大于0，即可判斷④．

解答： 解：由橢圓的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，其方程是

x2

4

+

y2

3

=1，
對(duì)于①，把y=x+1代入

x2

4

+

y2

3

=1，并整理得7x²+8x-8=0，由△=8²-4×7×（-8）＞0，
則y=x+1是“A型直線”；
對(duì)于②，把y=2代入

x2

4

+

y2

3

=1，得

x2

4

=-

1

3

不成立，∴y=2不是“A型直線”；
對(duì)于③，把y=-x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1，并整理得，7x²-24x+24=0，△=（-24）²-4×7×24＜0，
則y=-x+3不是“A型直線”；
對(duì)于④把y=-2x+3代入

x2

4

+

y2

3

=1，并整理得，19x²-48x+24=0，由△=（-48）²-4×19×24＞0，
則y=-2x+3是“A型直線”．
故答案為：①④．

點(diǎn)評(píng)：本題是新定義題，考查了橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法及方程思想方法，解答此題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷直線方程與橢圓方程聯(lián)立的方程組是否有解，屬中檔題．