Question

已函數(shù)f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數(shù)，且f（1）=2．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)F（x）=

x

f(x)

（x＞0）．求F（a）+F（

1

a

）的值，并計(jì)算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數(shù)，由f（-x）=-f（x），結(jié)合f（1）=2，利用待系數(shù)法求解．
（2）先寫(xiě)出F（x） 的表達(dá)式，再分別求得F（a），F(xiàn)（

1

a

）的值，相加即得F（a）+F（

1

a

）的值，最后利用此規(guī)律即可計(jì)算F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）的值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

x2+1

ax+b

是奇函數(shù)，且f（1）=2
∴

b=0 2 a =2

解得：a=1，b=0．
∴f（x）的表達(dá)式：f（x）=

x2+1

x

．
（2）F（x）=

x

f(x)

=

x2

x2+1

∴F（a）=

a2

a2+1

，F(xiàn)（

1

a

）=

( 1 a )2

( 1 a )2+1

=

1

a2+1

∴F（a）+F（

1

a

）=1；
∴F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（

1

2

）+F（

1

3

）+F（

1

4

）
=

1

2

+3×1=

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的值、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用、待系數(shù)法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．