Question

17．已知數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，觀察程序框圖，若k=5，k=10時，分別有S=$\frac{5}{11}$和S=$\frac{10}{21}$．
（1）試求數(shù)列{a_n}的通項；
（2）設b_n=（n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$，{b_n}的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)程序框圖分析程序功能，利用裂項相消法，求出數(shù)列的首項和公式，可得答案；
（2）利用錯位相減法，結合（1）中結論，可得{b_n}的前n項和為T_n．

解答 解：（1）由框圖可知該程序的功能是，計算并輸出 S=$\frac{1}{{a}_{1}•{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}•{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}•{a}_{k+1}}$的值，…（2分）
∵{a_n}是等差數(shù)列，其公差為d，則有$\frac{1}{{a}_{k}•{a}_{k+1}}$=$\frac{1}vpllzhd$（$\frac{1}{{a}_{k}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$），
∴S=$\frac{1}r9jpr9t$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{k}}$-$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）=$\frac{1}nfzj97v$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{k+1}}$），…（4分）
由題意可知，k=5時，S=$\frac{5}{11}$；
 k=10時，S=$\frac{10}{21}$；
即$\frac{1}phljr9l$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{6}}$）=$\frac{5}{11}$；$\frac{1}5hlfnfd$（$\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{11}}$）=$\frac{10}{21}$，
 解得$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=2\\ d=2\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a}_{1}=-1\\ d=-2\end{array}\right.$（舍去）   …（6分）      
∴a_n=2n； …（7分）     
（2）∵b_n=（n+1）•2${\;}^{{a}_{n}}$=（n+1）•4ⁿ，
∴T_n=2•4¹+3•4²+4•4³+…+（n+1）•4ⁿ，
4T_n=2•4²+3•4³+4•4⁴+…+（n+1）•4ⁿ⁺¹，
兩式相減得：
-3T_n=2•4¹+4²+4³+…+4ⁿ-（n+1）•4ⁿ⁺¹
=4+$\frac{4（1-{4}^{n}）}{1-4}$-（n+1）•4ⁿ⁺¹
=$\frac{8}{3}$-（n+$\frac{2}{3}$）•4ⁿ⁺¹，
∴T_n=$（\frac{3n-2}{9}）$•4ⁿ⁺¹-$\frac{8}{9}$，

點評 本題考查的知識點是數(shù)列求和，熟練掌握裂項相消法和錯位相減法求和的方法步驟，是解答的關鍵．