Question

對任意x∈R，函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)存在，若f′（x）＞f（x），則以下正確的是（ ）
A．f（2011）＞e²⁰¹¹•f（0）
B．f（2011）＜e²⁰¹¹•f（0）
C．f（2011）＞f（0）
D．f（2011）＜f（0）

Answer 1

【答案】分析：由f′（x）＞f（x）可得f'（x）-f（x）＞0，而由e^-x[f′（x）-f（x）]＞0可判斷函數(shù)e^-xf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，結(jié)合對x取特殊值可求．
解答：解：∵f′（x）＞f（x）
∴f′（x）-f（x）＞0
∵e^-x＞0
∴e^-x[f′（x）-f（x）]＞0
∴e^-xf′（x）-e^-xf（x）＞0
而[e^-xf（x）]′=（e^-x）′f（x）+e^-xf′（x）=-e^-xf（x）+e^-xf′（x）＞0
∴e^-xf（x）是單調(diào)遞增函數(shù)
取x=2011，
于是e^-2011f（2011）＞e^-0f（0）=f（0）
∴f（2011）＞e²⁰¹¹f（0）．
故選A
點(diǎn)評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算及利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，這里的關(guān)鍵，是觀察和利用e^-xf（x）的導(dǎo)函數(shù)的形式．屬于基礎(chǔ)題．