已知焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線過橢圓
x2
4
+
y2
16
=1和橢圓
3x2
16
+
y2
4
=1的交點(diǎn),則雙曲線的離心率是(  )
分析:設(shè)出雙曲線方程,可得其漸近線方程,再將兩個(gè)橢圓方程聯(lián)解,將所得交點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的漸近線,化簡可得b=
3
a
,c=2a,從而得出所求雙曲線的離心率e.
解答:解:設(shè)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線方程為
y2
a2
-
x2
b2
=1(a>0,b>0)
∴該雙曲線的漸近線方程為y=±
a
b
x
橢圓
x2
4
+
y2
16
=1和橢圓
3x2
16
+
y2
4
=1的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
x2
4
+
y2
16
=1
3x2
16
+
y2
4
=1
,聯(lián)解得
x2=
48
13
y2=
16
13

∵已知雙曲線的漸近線經(jīng)過兩個(gè)橢圓的交點(diǎn)
a2
b2
=
16
13
48
13
=
1
3
,得b=
3
a
,c=
a2+b2
=2a
因此,所求雙曲線的離心率e=
c
a
=2
故選:B
點(diǎn)評(píng):本題給出雙曲線的漸近線經(jīng)過兩個(gè)橢圓的交點(diǎn),求雙曲線的離心率,著重考查了橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)A (0,)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于y = x對(duì)稱.

    (1)求雙曲線C的方程;

    (2)若Q是雙曲線線C上的任一點(diǎn),F1,F2為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn),從F1引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足為N,試求點(diǎn)N的軌跡方程;

    (3)設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn),另一直線l經(jīng)過M (–2,0)及AB的中點(diǎn),求直線ly軸上的截距b的取值范圍.

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