Question

已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)A (0，)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于y = x對(duì)稱．

    （1）求雙曲線C的方程；

    （2）若Q是雙曲線線C上的任一點(diǎn)，F₁，F₂為雙曲線C的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從F₁引∠F₁QF₂的平分線的垂線，垂足為N，試求點(diǎn)N的軌跡方程；

    （3）設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過M (–2，0)及AB的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

x² – y² = 1 ，x² + y² = 1 (x≠)，(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)

解析:

解：設(shè)雙曲線C的漸近線為y = kx，即kx – y = 0．

∵漸近線與x² + (y – )² = 1相切，∴，∴雙曲線C的漸近線為y = ±x，∴設(shè)雙曲線方程為x² – y² = a²．∵A (0，)關(guān)于y = x的對(duì)稱點(diǎn)為(，0)，∴由題意知，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，

∴C = ．∴2a² = 2，a² = 1，∴雙曲線C的方程為x² – y² = 1．

（2）若Q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)QF₂到T，使|QT| = |QF₁|；若Q在雙曲線的左支上，則在QF₂上取一點(diǎn)T，使|QT| = |QF₁|．根據(jù)雙曲線的定義，|TF₂| = 2．∴T在以F₂ (，0)為圓心，2為半徑的圓上，∴點(diǎn)T的軌跡方程是(x –)² + y² = 4 (x≠0)  ①

易知，點(diǎn)N是線段F₁T的中點(diǎn)．

設(shè)N (x，y)，T (x₀，y₀)，則代入①得，N點(diǎn)的軌跡方程為

x² + y² = 1 (x≠)

（3）由得 (1 – m²) x² – 2mx – 2 = 0，依題意有

∵AB中點(diǎn)為，∴l的方程為y = ．

令x = 0得  b =    

∵m∈(1，) ∴–2(m – )² + ∈(–2 + ，1)   

∴b的范圍是(–∞，– 2 –)∪(2，+∞)．