Question

已知函數(shù)f（x）=x²-4，點(diǎn)A₁（x₁，0），過(guò)點(diǎn)A₁作x軸的垂線交拋物線C：y=f（x）于點(diǎn)B₁，過(guò)B₁作拋物線C：y=f（x）的切線與x軸交于點(diǎn)A₂（x₂，0），過(guò)點(diǎn)A₂作x軸的垂線交拋物線C：y=f（x）于點(diǎn)B₂，過(guò)點(diǎn)B₂作拋物線C：y=f（x）的切線交x軸于點(diǎn)A₃（x₃，0）┉依次下去，得到x₁、x₂、x₃┉，x_n，其中x₁＞0，
（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）若x₁＞2，記an=lg

xn+2

xn-2

，證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）若x₁=

22

9

，求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與解析幾何的綜合

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，寫出切線L的方程，取y=0求得x的值，從而得到x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）把a(bǔ)_n+1用x_n+1表示，結(jié)合x_n+1與x_n的關(guān)系得到a_n+1與a_n的關(guān)系，由關(guān)系證出數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（3）把x₁=

22

9

代入a1=lg

x1+2

x1-2

求出a₁，由等比數(shù)列求出通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）解：∵f（x）=x²-4，
∴f′（x）=2x，
∴切線L的方程為y-(xn2-4)=2xn(x-xn)，
令y=0，得x=

xn

2

+

2

xn

，
即xn+1=

xn

2

+

2

xn

；

（2）證明：∵

xn+1+2

xn+1-2

=

xn 2 + 2 xn +2

xn 2 + 2 xn -2

=

xn2+4+4xn

xn2+4-4xn

=

(xn+2)2

(xn-2)2

，
∴an+1=lg

xn+1+2

xn+1-2

=2lg

xn+2

xn-2

=2an，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁公比為2的等比數(shù)列；
（3）∵x₁=

22

9

，
∴a₁=lg

x1+2

x1-2

=lg

22 9 +2

22 9 -2

=lg10=1，
∴an=2n-1．
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
2S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2ⁿ+n×2ⁿ
兩式作差得：-S_n=1×2⁰+1×2¹+1×2²+…+1×2^n-1-n×2ⁿ=2ⁿ-1-n×2ⁿ．
∴S_n=n×2ⁿ+1-2ⁿ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列與解析幾何的綜合，考查了數(shù)列遞推式，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬中高檔題．