Question

8．已知x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+2y-3≤0\\ x+3y-3≥0\\ y≤1\end{array}\right.$，z=2x+y的最大值是m，若正數(shù)a，b滿足a+b=m，則$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解，得大m的值，然后利用1的代換，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x+y得y=-2x+z，
平移直線y=-2x+z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-2x+z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，直線y=-2x+z的截距最大，
此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-3=0}\\{x+3y-3=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=0}\end{array}\right.$，即C（3，0），
代入目標(biāo)函數(shù)z=2x+y得z=2×3+0=6．
即目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值為6．
即m=6，
則a+b=6，即$\frac{a+b}{6}$=1，
則$\frac{1}{a}+\frac{4}$=（$\frac{1}{a}+\frac{4}$）×$\frac{a+b}{6}$=$\frac{1}{6}$（1+4+$\frac{a}$+$\frac{4a}$）≥$\frac{1}{6}$（5+2$\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$）=$\frac{5+4}{6}$=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}$=$\frac{4a}$，即b²=4a²，即b=2a時(shí)取等號(hào)，
故答案為：$\frac{3}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及利用基本不等式的性質(zhì)是解決此類問(wèn)題的基本方法．