Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和為S_n，且S_n=n²+

1

2

n
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=2ⁿ，設c_n=

an+ 1 2

bn

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：（1）根據(jù)a_n與S_n的關系，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求出c_n=

an+ 1 2

bn

的通項公式，利用錯位相減法即可求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解（1）n=1時，a1=S1=

3

2

，
n≥2時，an=Sn-Sn-1=2n-

1

2

，
檢驗，上式對n=1成立．
∴an═2n-

1

2

．
（2）∵b_n=2ⁿ，
∴cn=

an+ 1 2

bn

=

2n

2n

=n•(

1

2

)n-1，
Tn=1•(

1

2

)0+2•(

1

2

)1+…+n•(

1

2

)n-1  ①，

1

2

Tn=1•(

1

2

)1+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n  ②
①-②，得：

1

2

Tn=(

1

2

)0+(

1

2

)1+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n-1-n•(

1

2

)n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n•(

1

2

)n，
整理得：Tn=4-(2n+4)•(

1

2

)n．

點評：本題主要考查數(shù)列通項公式的求解，根據(jù)a_n=S_n-S_n-1（n≥2）是解決本題的關鍵，要求熟練掌握錯位相減法．