Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期為

2

3

π，最小值為-2，圖象過點(

5

9

π，0)．
（1）求f（x）的解析式；      
（2）求滿足f（x）=1且x∈[0，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的最小正周期為

2

3

π，最小值為-2，我們根據函數的周期與ω的關系，最值與A的關系，求出A與φ，再由圖象過點(

5

9

π，0)，即可求出φ值，進而得到f（x）的解析式；      
（2）由（1）中函數的解析式，我們可以構造滿足條件f（x）=1的三角方程，解方程即可得到滿足條件的區(qū)間[0，π]上的x的集合．

解答：解：（1）由題意：A=2，T=

2π

ω

=

2π

3

，故ω=3．（4分）
又圖象過點(

5

9

π，0)，代入解析式中，sin(3×

5π

9

+φ)=0
因為|φ|＜

π

2

，故φ=

π

3

，f(x)=2sin(3x+

π

3

)（7分）
（2）由f(x)=1?2sin(3x+

π

3

)=1?3x+

π

3

=2kπ+

π

6

或2kπ+

5π

6

，k∈Z
解得x=

2

3

kπ-

π

18

或x=

2

3

kπ+

π

6

，k∈Z（12分）
又x∈[0，π]，所以滿足題意的x的集合為{x|x=

11π

18

或x=

π

6

或x=

5π

6

}（14分）

點評：本題考查的知識點是正弦型函數y=Asin（ωx+φ）的解析式的求法，正弦型函數的圖象和性質，其中熟練掌握正弦型函數的性質與參數的關系，是解答本題的關鍵．