Question

11．點P是直線l：x-y+4=0上一動點，PA與PB是圓C：（x-1）²+（y-1）²=4的兩條切線，則四邊形PACB的最小面積為4．

Answer 1

分析 利用切線與圓心的連線垂直，可得S_PACB=2S_ACP．，要求四邊形PACB的最小面積，即直線上的動點到圓心的距離最短，利用二次函數(shù)的配方求解最小值，得到三角形的邊長最小值，可以求四邊形PACB的最小面積．

解答 解：根據(jù)題意：圓C：（x-1）²+（y-1）²=4，圓心為（1，1），半徑r=2，

∵點P在直線x-y+4=0上，設(shè)P（t，t+4），切線與圓心的連線垂直，
直線上的動點到圓心的距離d²=（t-1）²+（t+4-1）²，
化簡：d²=2（t²+2t+5）
=2（t+1）²+8，
∴$asnoq72_{min}=2\sqrt{2}$，
那么：$PA=\sqrt{xolcezm^{2}{-r}^{2}}$，
則|PA|_min=2，
三角形PAC的最小面積為：${S}_{PAC}=\frac{1}{2}PA•r$=2，
可得：S_PACB=2S_ACP=4，
所以：四邊形PACB的最小面積S_PABC=4，
故答案為：4．

點評 本題考查了圓的切線問題，切線與圓心的連線垂直，能構(gòu)造直角三角形，把四邊形PACB的最小面積，直線上的動點到圓心的距離最短是解題的關(guān)鍵．屬于中檔題．