4．已知△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若$cosB=\frac{1}{4}，b=3$，sinC=2sinA，則△ABC的面積為$\frac{9\sqrt{15}}{16}$．

分析 由題意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sinB，代入三角形的面積公式計(jì)算可得．

解答 解：在△ABC中由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
由sinC=2sinA，則c=2a，
cosB=$\frac{1}{4}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由余弦定理可知：b2=a2+c2-2accosB，即32=a2+（2a）2-2a•2a×$\frac{1}{4}$，
解得a=$\frac{3}{2}$，c=3，
△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{9\sqrt{15}}{16}$，
故答案為：$\frac{9\sqrt{15}}{16}$，．

點(diǎn)評 本題考查三角形的面積，涉及正余弦定理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．

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（2）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求AB．

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A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．c＜b＜a

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