Question

14．已知方程|ln|x-2||=m（x-2）²，有且僅有四個(gè)解x₁，x₂，x₃，x₄，則m（x₁+x₂+x₃+x₄）=$\frac{4}{e}$．

Answer 1

分析 作出兩側(cè)函數(shù)的圖象，根據(jù)對(duì)稱性可知x₁+x₂+x₃+x₄=8，根據(jù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)可知兩圖象相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出m即可計(jì)算答案．

解答 解：令f（x）=|ln|x-2||，g（x）=m（x-2）²，
則f（x）與g（x）的圖象均關(guān)于直線x=2對(duì)稱，
∴x₁+x₂+x₃+x₄=8，
作出f（x）與g（x）的函數(shù)圖象如圖所示：

∵方程|ln|x-2||=m（x-2）²有且僅有四個(gè)解，
∴y=m（x-2）²與y=ln（x-2）相切，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），則$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}=m（{x}_{0}-2）^{2}}\\{{y}_{0}=ln（{x}_{0}-2）}\\{2m（{x}_{0}-2）=\frac{1}{{x}_{0}-2}}\end{array}\right.$，解得x₀=$\sqrt{e}$+2，m=$\frac{1}{2e}$．
∴m（x₁+x₂+x₃+x₄）=$\frac{4}{e}$．
故答案為：$\frac{4}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了方程的根與函數(shù)圖象的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．