Question

20．若實(shí)數(shù)x，y 滿足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，則$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系式化簡，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可得答案．

解答 解：滿足$\frac{1}{si{n}^{2}y}+\frac{1}{co{s}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
可得：$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$=2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$，
∵$\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{co{s}^{2}y}+\frac{si{n}^{2}y+co{s}^{2}y}{si{n}^{2}y}$≥2+2=4，當(dāng)且僅當(dāng)sin²y=cos²y時取得等號，則tan²y=$\frac{si{n}^{2}y}{co{s}^{2}y}=1$．
∴2${\;}^{x-{e}^{x-1}+2}$≥4
即x-e^x-1+2≥2．
∴x-e^x-1≥0．
當(dāng)x=1時，可得取得等號．
∴則$\frac{ta{n}^{2}y}{2x}$=$\frac{1}{2×1}=\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，基本不等式等號取得的情況．屬于中檔題．