Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，（為常數(shù)）對于任意的恒成立．

（1）若，求的值；

（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）若，關(guān)于的不等式有且僅有兩個(gè)不同的整數(shù)解，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）詳見解析；（3）．

【解析】

（1）將代入已知等式即可求得結(jié)果；

（2）利用可得到遞推關(guān)系，將換成后兩式作差可得到，從而證得結(jié)論；

（3）將不等式化為，令，則不等式的正整數(shù)解只有兩個(gè)，通過分析可知除以外只能有個(gè)符合要求；當(dāng)時(shí)，通過導(dǎo)數(shù)可求得，分別討論、和時(shí)的取值，得到符合題意的范圍后，解不等式求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時(shí)，，，解得：；

（2）由（1）知：，

，，

，則，

，又，，，

∴對任意，成立，數(shù)列是等差數(shù)列；

（3）由（2）可知：，即，

即，，

令，題目條件轉(zhuǎn)化為滿足不等式的正整數(shù)解只有兩個(gè)，

若符合，則，即；若符合，則，；

若符合，則為任意實(shí)數(shù)，即除以外只能有個(gè)符合要求.

當(dāng)，時(shí)，，解得：，

令，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，

，，

當(dāng)時(shí)，至少存在、、滿足不等式，不符合要求；

當(dāng)時(shí)，對于任意，都不滿足不等式，也不滿足，

此時(shí)只有、滿足；

當(dāng)時(shí)，只有符合；

故，即，解得：或；

的取值范圍是.