Question

【題目】在四面體中，已知，.

（1）當(dāng)四面體體積最大時(shí)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)四面體的外接球球心為，求和平面所成夾角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作，由題意可知當(dāng)平面時(shí)，四面體的面積最大，求出此時(shí)的的值即可得解；

（2）在線段上取，使，為的內(nèi)心，過(guò)作平面，則球心在直線上，設(shè)，球的半徑為，由勾股定理求得后，由即可得解.

（1）取中點(diǎn)，連接，，過(guò)點(diǎn)作,

由可得，，，

由可得平面，

又平面，所以平面平面，所以平面，

即即為四面體的高，由，可知當(dāng)平面四面體面積最大，

此時(shí)即的值為；

（2）當(dāng)時(shí)，，則為的中點(diǎn)，

所以，，

在線段上取，使，易知為的內(nèi)心，，

過(guò)作平面，則球心在直線上，

球心為，過(guò)點(diǎn)作，連接，，則，

設(shè)，球的半徑為，則，

則，

，

所以，解得，

所以，，，

設(shè)和平面所成夾角為，

由平面可知，

所以和平面所成夾角的正弦值為.