正四棱錐P－ABCD的各條棱長(zhǎng)相等，E、F、G、H分別是AB、CD、PA、PC的中點(diǎn)．

(1)求證：GF∥平面PBC；

(2)求異面直線GF與HE所成角的余弦值；

(3)求三棱錐H－EFG與四棱錐P－ABCD的體積之比．

答案：
解析：

(1)連結(jié)EG、EF，

∵EF∥BC，EG∥BP

∴EF∥平面PBC，EG∥平面PBC，

∴平面EFG∥平面PBC．

∴FG∥平面PBC．

(2)設(shè)PA＝a，取PB中點(diǎn)M，取PM中點(diǎn)N，連結(jié)MC，NH，EN．

∴FG∥MC，MC∥NH

∴∠EHN是異面直線EH與FG所成的角(或其補(bǔ)角)．

在△EHN中，EH＝，HN＝，

∴EN＝，∴cos∠EHN＝．

∴異面直線EH與FG所成角余弦值為．

(3)∵平面EFG∥平面PBC．

∴點(diǎn)H到平面EFG的距離與點(diǎn)B到平面EFG距離相等．

∴

∵點(diǎn)G到平面ABCD的距離是點(diǎn)P到平面ABCD距離的一半，

且∶＝1∶4．

∴＝1∶8．


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(本題滿分14分) 已知正四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2 的正方形，高為．M為線段PC的中點(diǎn)．

(Ⅰ) 求證：PA∥平面MDB；

(Ⅱ) N為AP的中點(diǎn)，求CN與平面MBD所成角的正切值．

 

 

 

 

 

 

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（A）        （B）      （C）           （D）

 

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（本小題滿分16分） 如圖，正四棱錐P－ABCD中，O是底面正方形的中心， E是PC的中點(diǎn)，求證

(1）PA∥平面BDE

（2）平面PAC 平面BDE

 

 

 

 

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正四棱錐P－ABCD，B1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，

則兩個(gè)棱錐A－B1CD1,P－ABCD的體積之比是(     )

A. 1:4                  

B. 3:8                               

C. 1:2                      

D. 2:3

 

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