【題目】如圖所示,在三棱錐中,平面,,,、分別為線段、上的點(diǎn),且,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(Ⅰ)由平面,證得,再由為等腰直角三角形,得到,即可利用線面垂直的判定定理,證得平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,以為坐標(biāo)原點(diǎn),如圖建立空間直角坐標(biāo)系,求得平面的法向量為,又平面的法向量可取,利用向量的夾角公式,即可求解二面角的余弦值.
試題解析:
(Ⅰ)證明:由平面,平面,故
由,得為等腰直角三角形,故
又,故平面.
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知,為等腰直角三角形,
過作垂直于,易知又已知,故
以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,則
則有,.
設(shè)平面的法向量為,則有
,可取;
因?yàn)?/span>平面,所以平面的法向量可取.
則.
而二面角為銳二面角,故其余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義在區(qū)間上的函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)求函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù);
(2)證明:當(dāng),函數(shù)有最小值,設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,若滿足條件:存在,使在上的值域?yàn)?/span>,則稱為“倍縮函數(shù)”.若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”,則實(shí)數(shù)的取值范圍是
A. (﹣∞,ln2﹣1) B. (﹣∞,ln2﹣1]
C. (1﹣ln2,+∞) D. [1﹣ln2,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,且經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),是軸上的點(diǎn),若是以為斜邊的等腰直角三角形, 求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸的非負(fù)半軸為極軸,選擇相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,圓極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)當(dāng)時,求直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)直線與圓的交點(diǎn)為、,證明:是與無關(guān)的定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了檢驗(yàn)學(xué)習(xí)情況,某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)于近期舉辦一場競賽活動,分別從甲、乙兩班各抽取10名學(xué)員的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,其成績的莖葉圖如圖所示(單位:分),假設(shè)成績不低于90分者命名為“優(yōu)秀學(xué)員”.
(1)分別求甲、乙兩班學(xué)員成績的平均分(結(jié)果保留一位小數(shù));
(2)從甲班4名優(yōu)秀學(xué)員中抽取兩人,從乙班2名80分以下的學(xué)員中抽取一人,求三人平均分不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)若,且函數(shù)的圖象是函數(shù)圖象的一條切線,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若不等式對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若對任意實(shí)數(shù),函數(shù)在上總有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級,等級系數(shù)X依次為1,2,…8,其中為標(biāo)準(zhǔn),為標(biāo)準(zhǔn). 已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為6元/件; 乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價為元/件,假定甲, 乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn).
(Ⅰ)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的概率分布列如下所示:
5 | 6 | 7 | 8 | |
0.4 | b | 0.1 |
且的數(shù)學(xué)期望, 求a,b的值;
(Ⅱ)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù),從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本,數(shù)據(jù)如下:
用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)在(Ⅰ),(Ⅱ)的條件下,若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.
注: ①產(chǎn)品的“性價比”=;②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性.
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