已知函數(shù)f（x）=
1
3
x3-ax2+1（a∈R）．
（Ⅰ）若a＞0，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a2-3）上存在極值，求a的取值范圍；
（Ⅱ）若a＞2，求證：函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個(gè)零點(diǎn)．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，令f'（x）=0，解得x=0或x=2a，x=0不在（a，a 2-3）內(nèi)，要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a 2-3）上存在極值，只需a＜2a＜a2-3，即可求a的取值范圍；
（Ⅱ）確定函數(shù)y=f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，即可證明函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個(gè)零點(diǎn)．
解答： （Ⅰ）解：由已知f'（x）=x2-2ax=x（x-2a）
令f'（x）=0，解得x=0或x=2a，
∵a＞0，∴x=0不在（a，a 2-3）內(nèi)
要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，a 2-3）上存在極值，只需a＜2a＜a2-3
解得a＞3…（6分）
（Ⅱ）證明：∵a＞2，∴2a＞4，∴f'（x）＜0在（0，2）上恒成立，
即函數(shù)y=f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
又f(0)=1＞0，f(2)=
11-12a
3
＜0，
∴函數(shù)y=f（x）在（0，2）上恰有一個(gè)零點(diǎn)  …（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx+
a
x+1
（a∈R）．
（1）當(dāng)a=
9
2
時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的無極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖甲，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為邊BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于點(diǎn)F．將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG，形成如圖乙所示的幾何體．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面AFG
（Ⅱ）求四棱錐A-BCDE的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ex（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），gn（x）=1+x+
x2
2!
+
x3
3!
+…+
xn
n!
（n∈N+）．
（Ⅰ）證明：f（x）≥g1（x）；
（Ⅱ）證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥g2（x）；
（Ⅲ）當(dāng)x≥0時(shí)，比較f（x）與gn（x）的大小，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
ex-1
x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意正數(shù)a，存在正數(shù)x，使不等式f（x）-1＜a成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱椎P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB=1，PD與平面ABCD所成的角是30°，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上移動(dòng)．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；
（Ⅱ）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有AF⊥PE；
（Ⅲ）求當(dāng)BE的長(zhǎng)為多少時(shí)，二面角P-DE-A的大小為45°．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ex（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x2+2bx+2，已知它們?cè)趚=0處有相同的切線．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-2（ex+x），試判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值為φ（t），解關(guān)于t的不等式φ（t）≤4e2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=xn+bx+c （n∈N+，b，c∈R）
（1）設(shè)n=2，b=1，c=-1，證明：f（x）在區(qū)間（
1
2
，1）內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；
（2）設(shè)n為偶數(shù)，|f（-1）|≤1，|f（1）|≤1，求b+3c的最大值和最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=x3-3x+1，x∈[-3，0]的最小值是
 
．

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