Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x（ax+b）（其中e=2.71828…），g（x）=x²+2bx+2，已知它們在x=0處有相同的切線．
（1）求函數(shù)f（x），g（x）的解析式；
（2）若函數(shù)F（x）=f（x）+g（x）-2（e^x+x），試判斷函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞-3）上的最小值為φ（t），解關(guān)于t的不等式φ（t）≤4e²．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知條件得f′（x）=e^x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，f′（0）=a+b=g′（0）=2b，f（0）=b=g（0）=2，由此求出a=b=2，從而能求出f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
（2）由題意F′（x）=2（e^x+1）（x+1），由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)得F（x）_極小值=F（-1）=1-

2

e

＞0，由此求出函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
（3）f′（x）=2e^x（x+2），由導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求出φ（t）=

-2e-2，(-3＜t＜-2) 2et(t+1)，(t≥-2)

，由此能示出不等式φ（t）≤4e²的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=e^x（ax+b），g（x）=x²+2bx+2
∴f′（x）=e^x（ax+a+b），g′（x）=2x+2b，
由題意它們在x=0處有相同的切線，
∴f′（0）=a+b=g′（0）=2b，∴a=b，
f（0）=b=g（0）=2，∴a=b=2，
∴f（x）=2e^x（x+1），g（x）=x²+4x+2．
（2）由題意F（x）=2xe^x+x²+2x+2，
∴F′（x）=2（e^x+1）（x+1），
由F′（x）＞0，得x＞-1；由F′（x）＜0，得x＜-1，
∴F（x）在（-1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-∞，-1）上單調(diào)遞減，
∴F（x）_極小值=F（-1）=1-

2

e

＞0，
∴函數(shù)F（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．
（3）f′（x）=2e^x（x+2），由f′（x）＞0，得x＞-2，
由f′（x）＜0，得x＜-1，∴F（x）在（-2，+∞）單調(diào)遞增，在（-∞，-2）單調(diào)調(diào)遞減，
∵t＞-3，∴t+1＞-2．
①當(dāng)-3＜t＜-2時(shí)，f（x）在（t，-2）單調(diào)遞減，（-2，t+1）單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(-2)=-2e-2．
②當(dāng)t≥-2時(shí)，f（x）在[t，t+1]單調(diào)遞增，
∴f(x)min=f(t)=2et(t+1)
∴φ（t）=

-2e-2，(-3＜t＜-2) 2et(t+1)，(t≥-2)

，
當(dāng)-3＜t＜-2時(shí)，φ（t）≤4e²，
當(dāng)t≥-2時(shí)，φ（t）=2e^t（t+1），
當(dāng)-2≤t≤-1時(shí)，φ（t）≤4e²，
當(dāng)t＞-1時(shí)，φ（t）=2e^t（t+1）是增函數(shù)，又φ（2）=6e²，
∴-1＜t≤2，
∴不等式φ（t）≤4e²的解集為（-3，2]．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查分類與整合思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等．