Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

4

x

．
（Ⅰ）從區(qū)間（-2，2）內(nèi)任取一個實(shí)數(shù)a，設(shè)事件A={函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點(diǎn)}，求事件A發(fā)生的概率；
（Ⅱ）若連續(xù)擲兩次骰子（骰子六個面上標(biāo)注的點(diǎn)數(shù)分別為1，2，3，4，5，6）得到的點(diǎn)數(shù)分別為a和b，記事件B={f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立}，求事件B發(fā)生的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計算公式

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）首先求出參數(shù)的取值范圍，再利用概率公式計算即可．
（Ⅱ）先求出f（x）的最小值，然后討論a的取值，找到滿足條件的基本事件，根據(jù)概率公式計算即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵函數(shù)y=f（x）-2在區(qū)間（0，+∞）上有兩個不同的零點(diǎn)，
∴f（x）-2=0，即ax²-2x+4=0有兩個不同的正根x₁和x₂
∴

a≠0 x1+x2= 2 a ＞0 x1x2= 4 a ＞0 △=4-16a＞0

⇒0＜a＜

1

4

∴P(A)=

1 4

4

=

1

16

（Ⅱ）由已知：a＞0，x＞0，所以f(x)≥2

ax• 4 x

，即f(x)≥4

a

∴f(x)min=4

a

，
∵f（x）＞b²在x∈（0，+∞）恒成立
∴4

a

＞b2…（*）
當(dāng)a=1時，b=1適合（*）；
當(dāng)a=2，3，4，5時，b=1，2均適合（*）；
當(dāng)a=6時，b=1，2，3均適合（*）；
滿足（*）的基本事件個數(shù)為1+8+3=12．
而基本事件總數(shù)為6×6=36，
∴P(B)=

12

36

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了古典概型的概率問題以及函數(shù)的零點(diǎn)和最值問題．