Question

過雙曲線（a＞0，b＞0）的左焦點F（-c，0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（ ）
A．
B．
C．+1
D．

Answer 1

【答案】分析：雙曲線的右焦點的坐標為（c，0），利用O為FF'的中點，E為FP的中點，可得OE為△PFF'的中位線，從而可求|PF|，再設P（x，y） 過點F作x軸的垂線，由勾股定理得出關(guān)于a，c的關(guān)系式，最后即可求得離心率．
解答：解：設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）
因為拋物線為y²=4cx，所以F'為拋物線的焦點
因為O為FF'的中點，E為FP的中點，所以OE為△PFF'的中位線，
屬于OE∥PF'
因為|OE|=a，所以|PF'|=2a
又PF'⊥PF，|FF'|=2c 所以|PF|=2b
設P（x，y），則由拋物線的定義可得x+c=2a，
∴x=2a-c
過點F作x軸的垂線，點P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²，即4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
得e²-e-1=0，
∴e=．
故選D．
點評：本題主要考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應用，考查拋物線的定義，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．