Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+1）=-f（x），且在[-3，-2]上遞減，α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角且α≠β，則下列不等式正確的是（ ）
A．f（sinα）＞f（cosβ）
B．f（sinα）＜f（cosβ）
C．f（sinα）＞f（sinβ）
D．f（cosα）＞f（cosβ）

Answer 1

【答案】分析：由條件f（x+1）=-f（x），得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[-3，-2]上是減函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知f（x）在[2，3]的單調(diào)性，根據(jù)周期性進而可知函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)性，再由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，得α＞90°-β，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而可求
解答：解：∵f（x+1）=-f（x）
∴f（x+2）=-f（x+1）=f（x）即f（x）是周期為2的周期函數(shù)．
∵y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)
∴f（-x）=f（x）
∵f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知函數(shù)f（x）在[2，3]上是增函數(shù)
根據(jù)函數(shù)的周期可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∵α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角
∴α+β＞90°，α＞90°-β，
∴1≥sinα＞sin（90°-β）=cosβ≥0
∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選 A
點評：本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等函數(shù)知識的綜合應用，解題的關鍵是靈活應用函數(shù)的知識．