Question

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為1千米．某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k²)x²(k>0)表示的曲線上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

(1)求炮的最大射程．

(2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標(biāo)a不超過多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解析：(1)在y＝kx－(1＋k²)x²(k>0)中，令y＝0，得

kx－(1＋k²)x²＝0.

由實(shí)際意義和題設(shè)條件知，x>0，k>0.

∴x＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)．

∴炮的最大射程是10千米．

(2)∵a>0，∴炮彈可以擊中目標(biāo)等價(jià)于存在k>0，使ka－(1＋k²)a²＝3.2成立，即關(guān)于k的方程a²k²－20ak＋a²＋64＝0有正根．由Δ＝(－20a)²－4a²(a²＋64)≥0得a≤6.

此時(shí)，k＝>0(不考慮另一根)，∴當(dāng)a不超過6千米時(shí)，炮彈可以擊中目標(biāo)．