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拋物線的頂點在原點，焦點在x軸的正半軸上，直線x+y-1=0與拋物線相交于A、B兩點，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求拋物線的方程；
（2）在x軸上是否存在一點C，使△ABC為正三角形？若存在，求出C點的坐標；若不存在，請說明理由．
分析：（1）設所求拋物線的方程為y2=2px，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得P值，從而解決問題．
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設x軸上存在滿足條件的點C（x0，0），再利用△ABC為正三角形，求出CD的長，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）設所求拋物線的方程為y2=2px（p＞0），
由
y2=2px
x+y-1=0
消去y，
得x2-2（1+p）x+1=0．
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=2（1+p），
x1•x2=1．∵|AB|=
8
6
11
，
∴
(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
8
6
11
，
∴121p2+242p-48=0，
∴p=
2
11
或-
24
11
（舍）．
∴拋物線的方程為y2=
4
11
x．

（2）設AB的中點為D，則D(
13
11
，-
2
11
)．
假設x軸上存在滿足條件的點C（x0，0），∵△ABC為正三角形，
∴CD⊥AB，∴x0=
15
11
．
∴C（
15
11
，0），∴|CD|=
2
2
11
．
又∵|CD|=
3
2
|AB|=
12
2
11
，
故矛盾，∴x軸上不存在點C，使△ABC為正三角形．
點評：本題主要考查了橢圓的標準方程，以及直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于基礎題．突出考查了數形結合、函數與方程、等價轉化等數學思想方法．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

13、拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設拋物線的頂點在原點，準線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　　）
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標準方程、簡單的幾何性質等基礎知識，考查運算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標系xOy，拋物線的頂點在原點，焦點為F（1，0）．過拋物線在x軸上方的不同兩點A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點，且AC與BD交于點M，直線AD與直線BC交于點N．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點恰為F（1，0），求證：直線AB過定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：

拋物線的頂點在原點，對稱軸是坐標軸，且焦點在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網實軸長為4
3
的橢圓的中心在原點，其焦點F1，，F2在x軸上．拋物線的頂點在原點O，對稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內相交于點A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標準方程；
（Ⅱ）過點A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

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