Question

一水渠的橫截面如圖所示，它的橫截面曲線是拋物線形，AB寬2m，渠OC深為1.5m，水面EF距AB為0.5m．
（1）求截面圖中水面寬度；
（2）如把此水渠改造成橫截面是等腰梯形，要求渠深不變，不準(zhǔn)往回填土，只準(zhǔn)挖土，試求截面梯形的下邊長為多大時(shí)，才能使所挖的土最少？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的應(yīng)用

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先建立直角坐標(biāo)系，從而可得到A，B，C的坐標(biāo)，然后設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式，將A的坐標(biāo)代入即可得到拋物線的方程，再結(jié)合點(diǎn)E的縱坐標(biāo)可求得其橫坐標(biāo)，從而可求得EF的寬度．
（2）先設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)沿過點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土?xí)r挖出的土最少，然后對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，求得點(diǎn)M的切線的斜率，表示出切線方程，然后令y=0、-

3

2

，求得對應(yīng)的x的值，從而表示出截面面積，最后根據(jù)基本不等式的性質(zhì)可求得t的值．

解答： 解：（1）建立如圖所示坐標(biāo)系，則拋物線方程為x²=

2

3

（y+

3

2

），
當(dāng)y=-0.5時(shí)，x=±

6

3

，∴水面寬EF=

2 6

3

m．
（2）如上圖，設(shè)拋物線一點(diǎn)M（t，

3

2

t²-

3

2

）（t＞0），
因改造水渠中需挖土，而且要求挖出的土最少，所以只能沿過點(diǎn)M與拋物線相切的切線挖土．由y=

3

2

x²-

3

2

，求導(dǎo)得y′=3x，
∴過點(diǎn)M的切線斜率為3t，切線方程為y-（

3

2

t²-

3

2

）=3t（x-t）．
令y=0，則x₁=

1+t2

2t

，令y=-

3

2

，則x₂=

t

2

，
故截面梯形面積為S=

1

2

（2x₁+2x₂）•

3

2

=

3

2

（

1

2t

+t）≥

3 2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

2

2

時(shí)所挖土最少，此時(shí)下底寬

2

2

m．

點(diǎn)評：本題主要考查拋物線在實(shí)際生活中的應(yīng)用．考查選擇恰當(dāng)參數(shù)建立數(shù)學(xué)式子研究幾何圖形的解析幾何思維；考查根據(jù)實(shí)際選擇數(shù)學(xué)模型的能力（即數(shù)學(xué)建模能力）．