Question

已知函數(shù)f（x）=|x|（x-a），a為實數(shù)．
（1）若g（x）為定義在R的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x），求g（x）的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）+1=0有3個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a，使得f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最大值為-4，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)零點的判定定理,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：綜合題,方程思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）g（x）為定義在R的奇函數(shù)，g（-x）=-g（x），運用x＞0時，g（x）=f（x）=x（x-a），求得g（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x+a)，x＜0

，
（2）函數(shù)f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x2+ax，x＜0

，分類討論解決．
（3）轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)閉區(qū)間上的最值討論．

解答： 解：（1）∵g（x）為定義在R的奇函數(shù)，∴g（-x）=-g（x），
當(dāng)x＞0時，g（x）=f（x）=x（x-a），
當(dāng)x=0時，g（0）=0
設(shè)x＜0時，則-x＞0，
∴g（x）=-g（-x）=-[-x（-x-a）]=-x（x+a），（x＜0），
即g（x）=

x(x-a)，x≥0 -x(x+a)，x＜0

，
（2）函數(shù)f（x）=|x|（x-a）=

x(x-a)，x≥0 -x2+ax，x＜0

，
當(dāng)a≤0時，兩段的對稱軸為x=

a

2

，x=-

a

2

，
可判斷在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，不可能有3個交點；
當(dāng)a＞0時，若x≥0，對稱軸x=

a

2

，最小值為-

a2

4

，
若x＜0時，對稱軸x=-

a

2

，最大值為

a2

4

，
所以：-

a2

4

＜-1＜

a2

4

，即a＞2，a＜-2，
綜上：實數(shù)a的取值范圍：（-∞，-2）
（3）當(dāng)a≤0時判斷在（-∞，+∞）單調(diào)遞增，f（0）=0，在閉區(qū)間[1，2]上的最大值為-4，不可能；
當(dāng)a＞0時，若x≥0，對稱軸x=

a

2

，最小值為-

a2

4

，
∴

a 2 ≥ 3 2 f(1)=1-a=-4

或

a 2 ＜ 3 2 f(2)=4-2a=-4

解得a=5
所以存在實數(shù)a，使得f（x）在閉區(qū)間[1，2]上的最大值為-4

點評：本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的運用，不等式的結(jié)合，難度較大，做題仔細(xì)認(rèn)真些．