Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+a）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，求不等式f（x）≤2的解集．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，則f′（x）≥0恒成立，求出a的值，即可求出不等式f（x）≤2的解集．

解答： 解：（1）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
∴f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
當a=-1時，f′（x）=（x²+x-2）e^x，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＞0得x＞1或x＜-2，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=（x²+x-2）e^x＜0得-2＜x＜1，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
故函數(shù)的增區(qū)間為（1，+∞），（-∞，-2），單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，1）．
（2）由（1）知，f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
若函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
則f′（x）≥0恒成立，即f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x≥0，
則x²+（2+a）x+2a≥0恒成立，
即△=（2+a）²-8a=（a-2）²≤0，
解得a=2，
此時f（x）=（x²+2x+2）e^x，
∵f（0）=2，
∴不等式f（x）≤2等價為f（x）≤f（0），
∵函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴x≤0，
故不等式的解集為（-∞，0]．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，考查學生的計算能力．