Question

（09年西城區(qū)抽樣理）（14分）

已知的頂點A在射線上， A, B兩點關(guān)于x軸對稱，O為坐標原點，且線段AB上有一點M滿足. 當點A在l上移動時，記點M的軌跡為W.

    (Ⅰ) 求軌跡W的方程；

    (Ⅱ)設(shè)P(-1,0)，Q(2,0)，求證：.

Answer 1

 解析：（Ⅰ）解：因為A, B兩點關(guān)于x軸對稱，

所以AB邊所在直線與y軸平行.                            

設(shè)M(x, y)，由題意，得，           ----------------------2分

     所以，                    

因為，

所以，即，     ------------------------5分

所以點M的軌跡W的方程為.            ------------------6分

（Ⅱ）證明：設(shè)，

     因為曲線關(guān)于x軸對稱，

     所以只要證明“點M在x軸上方及x軸上時，”成立即可.

     以下給出“當時，” 的證明過程.     

因為點M在上，所以.

當x₀=2時，由點M在W上，得點，

          此時，

          所以，則；  --------------8分

     當時，直線PM、QM的斜率分別為，

          因為，所以，且，

          又，所以，且，   

    所以，--10分

    因為點M在W上，所以，即，

    所以，

    因為，

    所以，                     --------------------12分

    在中，因為，且，，

    所以.                             

綜上，得當時，.

所以對于軌跡W的任意一點M，成立.   --------------------14分