Question

 

如圖，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是梯形BC∥AD，∠DAB＝90°，AB＝BB₁＝4，BC＝3，AD＝5，AE＝3，F、G分別為CD、C₁D₁的中點.

（1）求證：EF⊥平面BB₁G；

（2）求二面角E－BB₁－G的大小.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）連接FG　∵F、G分別為CD、C₁D₁的中點，∴FGCC₁　從而FGBB₁

∴B、B₁、F、G四點共面.

連接BF并延長與AD的延長線交于點H.

∵F為CD的中點，且BC∥AD.

∴△HFD△BFC　∴DH＝BC＝3

∴EH＝DE+DH＝5.　又∵BE＝5，且F為BH的中點.

∴EF⊥BF，又∵BB₁⊥平面ABCD，且EF平面ABCD內(nèi).

∴BB₁⊥EF　∴EF⊥平面BB₁GF.　　從而EF⊥平面BB₁G.

（2）二面角E－BB₁－G的大小等于二面角F－BB₁－E的大小

∵EF⊥平面FBB₁　且EB⊥BB₁　FB⊥BB₁

即∠EBF為二面角F­－BB₁－E的平面角

在△EFB中，EB＝5，EF＝.　∴

∴∠EBF＝　∴二面角E－BB₁－G的大小為

解法2：以A為坐標原點，AB為x軸，AA₁為y軸，AD為Z軸建立空間直角坐標系，則E（0，0，3）、F（2，0，4）、G（2，4，4）、B（4，0，0）、B₁（4，4，0）

（1）、、

∵，

∴EF⊥BB₁，EF⊥B₁G　∴EF⊥平面BB₁G

（2）∵EF⊥平面BB₁G　∴為平面BB₁G的一個法向量

設(shè)平面EBB₁的一個法向量為

　

則　解得，取

∴

∴二面角E－BB₁－G的大小為