Question

四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共有10個(gè)點(diǎn)，取其中不共面的4點(diǎn)，不同的取法共有

141

種．

Answer 1

分析：由題意知從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，減去不合題意的結(jié)果，4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上；取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)；由中位線構(gòu)成的平行四邊形，用所有的結(jié)果減去補(bǔ)合題意的結(jié)果．

解答：解：從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)有C₁₀⁴種取法，
其中4點(diǎn)共面的情況有三類(lèi)．
第一類(lèi)，取出的4個(gè)點(diǎn)位于四面體的同一個(gè)面上，有4C₆⁴種；
第二類(lèi)，取任一條棱上的3個(gè)點(diǎn)及該棱對(duì)棱的中點(diǎn)，這4點(diǎn)共面，有6種；
第三類(lèi)，由中位線構(gòu)成的平行四邊形（其兩組對(duì)邊分別平行于四面體相對(duì)的兩條棱），
它的4頂點(diǎn)共面，有3種．
以上三類(lèi)情況不合要求應(yīng)減掉，
∴不同的取法共有C₁₀⁴-4C₆⁴-6-3=141種．
故答案為 141．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分類(lèi)計(jì)數(shù)原理，考查排列組合的實(shí)際應(yīng)用，是一個(gè)排列組合同立體幾何結(jié)合的題目，解題時(shí)注意做到不重不漏．