Question

4．定義max{x₁，x₂，x₃，…，x_n}表示x₁，x₂，x₃，…，x_n中的最大值．
已知數(shù)列a_n=$\frac{1000}{n}$，b_n=$\frac{2000}{m}$，c_n=$\frac{1500}{p}$，其中n+m+p=200，m=kn，n，m，p，k∈N^*．記d_n=max{a_n，b_n，c_n}
（Ⅰ）求max{a_n，b_n}
（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，求d_n的最小值；
（Ⅲ）?k∈N^*，求d_n的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，max{a_n，b_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{2000}{kn}$}，$\frac{1000}{n}$-$\frac{2000}{kn}$=$\frac{1000（k-2）}{kn}$，分別求得k=1、k=2及k≥3時(shí)，分別求得max{a_n，b_n}；
（Ⅱ）當(dāng)k=2時(shí)，由（Ⅰ）可得d_n=max{a_n，c_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{1500}{200-3n}$}，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n=$\frac{400}{9}$，d_n取得最小值，44＜$\frac{400}{9}$＜45，分別求得d₄₄和d₄₅，比較即可求得d_n取得最小值；
（Ⅲ）由（II）可知，當(dāng)k=2時(shí)，d_n的最小值為$\frac{250}{11}$，當(dāng)k=1及k≥3時(shí)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，分別求得可能取最小值時(shí)，n的取值，比較即可求得d_n取得最小值；

解答 解：（ I）由題意，max{a_n，b_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{2000}{kn}$}，
因?yàn)?\frac{1000}{n}$-$\frac{2000}{kn}$=$\frac{1000（k-2）}{kn}$，
所以，當(dāng)k=1時(shí)，$\frac{1000}{n}$＜$\frac{2000}{kn}$，則max{a_n，b_n}=b_n=$\frac{2000}{kn}$，
當(dāng)k=2時(shí)，$\frac{1000}{n}$=$\frac{2000}{kn}$，則max{a_n，b_n}=a_n=$\frac{1000}{n}$，
當(dāng)k≥3時(shí)，$\frac{1000}{n}$＞$\frac{2000}{kn}$，則max{a_n，b_n}=a_n=$\frac{1000}{n}$．…（4分）
（ II）當(dāng)k=2時(shí)，d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{a_n，c_n}=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{1500}{200-3n}$}，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當(dāng)$\frac{1000}{n}$=$\frac{1500}{200-3n}$時(shí)，d_n取得最小值，此時(shí)n=$\frac{400}{9}$．
又因?yàn)?4＜$\frac{400}{9}$＜45，
而d₄₄=max{a₄₄，c₄₄}=a₄₄=$\frac{250}{11}$，d₄₅=c₄₅=$\frac{300}{13}$，有d₄₄＜d₄₅．
所以d_n的最小值為$\frac{250}{11}$．…（8分）
（ III）由（II）可知，當(dāng)k=2時(shí)，d_n的最小值為$\frac{250}{11}$．
當(dāng)k=1時(shí)，d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{b_n，c_n}=max{$\frac{2000}{n}$，$\frac{750}{100-n}$}．
因?yàn)閿?shù)列{b_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當(dāng)$\frac{2000}{n}$=$\frac{750}{100-n}$時(shí)，d_n取得最小值，此時(shí)n=$\frac{800}{11}$．
又因?yàn)?2＜$\frac{800}{11}$＜73，
而d₇₂=b₇₂=$\frac{250}{9}$，d₇₂=c₇₂=$\frac{250}{9}$，．
此時(shí)d_n的最小值為$\frac{250}{9}$，$\frac{250}{9}$＞$\frac{250}{11}$．
（2）k≥3時(shí)，$\frac{1500}{200-（1+k）n}$≥$\frac{1500}{200-4n}$=$\frac{375}{50-n}$，a_n＞b_n，
所以d_n=max{a_n，b_n，c_n}=max{a_n，c_n}≥max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{375}{50-n}$}．
設(shè)h_n=max{$\frac{1000}{n}$，$\frac{375}{50-n}$}，
因?yàn)閿?shù)列{a_n}為單調(diào)遞減數(shù)列，數(shù)列{$\frac{375}{50-n}$}為單調(diào)遞增數(shù)列，
所以當(dāng)$\frac{1000}{n}$=$\frac{375}{50-n}$時(shí)，h_n取得最小值，此時(shí)n=$\frac{400}{11}$．
又因?yàn)?6＜$\frac{400}{11}$＜37，
而h₃₆=a₃₆=$\frac{250}{9}$，h₃₇=$\frac{375}{13}$，$\frac{250}{9}$＜$\frac{375}{13}$．
此時(shí)d_n的最小值為$\frac{250}{9}$，$\frac{250}{9}$＞$\frac{250}{11}$．．
綜上，d_n的最小值為d₄₄=$\frac{250}{11}$．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的新定義及數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求數(shù)列的最值，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想的合理運(yùn)用，屬于中檔題．