Question

設(shè)a＞0，方程xlnx+（a-x）ln（a-x）=0有解，則a的取值范圍是（ ）
A．（0，1]
B．（0，2]
C．（1，2]
D．（1，3]

Answer 1

【答案】分析：由題意構(gòu)造函數(shù)f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且求出0＜x＜a，再求出f′（x）和f″（x），判斷出f″（x）恒大于0，判斷出f′（x）在定義域上的單調(diào)性，再求出f′（x）=0對應(yīng)的x值，再求出f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)f（x）的最小值，根據(jù)最小值令g（x）=lnx，再求出此函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及單調(diào)性，判斷出函數(shù)值的符號，再由變化趨勢求出a的范圍．
解答：解：由題意設(shè)f（x）=xlnx+（a-x）ln（a-x），且0＜x＜a，
則原題可轉(zhuǎn)化為f（x）=0在（0，a）有解，求a的范圍，
∴f′（x）=1+lnx-1-ln（a-x）=lnx-ln（a-x）
則f″（x）==，
由題意得0＜x＜a，又∵a＞0，∴f″（x）恒大于0，
∴f′（x）在（0，a）為增函數(shù)，
令f′（x）=0，得x=，則0＜＜a，
∴f′（x）在（0，）恒小于零，在（，a）恒大于零，
則f（x）在（0，）遞減，在（，a）遞增
要使f（x）在（0，a）有解，
則f（x）的最小值：f（）=ln+（a-）ln（a-）=aln（）≤0，
設(shè)g（x）=lnx，x＞0，
且=0，得x=，
∴g（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增，
∵當(dāng)x趨向于零時，g（x）=lnx＜0，最小值g（）＜0，
且g（1）=ln1=0，此時a=2，
又由a＞0，解得a的范圍為（0，2]，
故選B．
點評：本題考查了方程的根與函數(shù)零點的轉(zhuǎn)化，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、最值的關(guān)系，此題較難涉及了二次求導(dǎo)問題，以及恒成立的轉(zhuǎn)化問題，構(gòu)造函數(shù)法，可作為壓軸題．