已知f(x)=
4x+a4x+1
是奇函數(shù)，
（1）求常數(shù)a的值；  
（2）求f（x）的定義域和值域；
（3）討論f（x）的單調(diào)性并證明．
分析：（1）利用奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），即可求得a值；
（2）先把函數(shù)f（x）變形為f（x）=
4x-1
4x+1
=1-
2
4x+1
，利用基本函數(shù)的值域可求函數(shù)f（x）的值域，f（x）的定義域易求得；
（3）設(shè)x1＜x2，通過作差比較f（x1）與f（x2）的大小，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義可作出判斷．
解答：解：（1）因為f(x)=
4x+a
4x+1
是奇函數(shù)，
所以f（-x）=-f（x），即
4-x+a
4-x+1
=-
4x+a
4x+1
，也即
1+a•4x
1+4x
=-
4x+a
4x+1
，
所以
(1+a•4x)+(4x+a)
4x+1
=a+1=0，
所以a=-1．
（2）由（1）知，f（x）=
4x-1
4x+1
=1-
2
4x+1
，
其定義域為R．
因為4x＞0，所以0＜
2
4x+1
＜2，-1＜1-
2
4x+1
＜1，
即-1＜f（x）＜1．
所以函數(shù)f（x）的值域為（-1，1）．
（3）所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
證明：設(shè)x1＜x2，
則f（x1）-f（x2）=（1-
2
4x1+1
）-（1-
2
4x2+1
）
=
2
4x2+1
-
2
4x1+1
=
2(4x1-4x2)
(4x2+1)(4x1+1)
．
因為x1＜x2，所以4x1＜4x2，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
所以f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以函數(shù)f（x）在R上為增函數(shù)．
點評：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，屬基礎(chǔ)題，定義是解決該類問題的基本方法．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
4x+1
2x+m
存在反函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A、(-∞，-
1
2
)
B、(-∞，
1
2
)
C、(-∞，-
1
2
)∪(-
1
2
，+∞)
D、(-∞，
1
2
)∪(
1
2
，+∞)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=4x+ax2-x3(x∈R)在區(qū)間［-1,1］上是增函數(shù).

(1)求實數(shù)a的值組成的集合A.

(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x3的兩個非零實根為x1、x2,試問:是否存在實數(shù)m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對于任意a∈A及t∈［-1,1］恒成立?若存在,求m的取值范圍；若不存在,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=4x＋ax2－x3(x∈R)在區(qū)間［－1,1］上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是______.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知f(x)=
4x+1
2x+m
存在反函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A．(-∞，-
1
2
)		B．(-∞，
1
2
)
C．(-∞，-
1
2
)∪(-
1
2
，+∞)		D．(-∞，
1
2
)∪(
1
2
，+∞)

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