Question

3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是底面ABCD對角線的交點．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證明直線與平面垂直，可以先證明直線與直線垂直，由BD⊥CC₁，BD⊥AC可得BD⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）由已知得AA₁⊥BD，AC⊥BD，從而BD⊥平面ACC₁A₁，∠B₁CO為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，由此能求出直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角．

解答 （Ⅰ）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴CC₁⊥平面ABCD，
∴BD⊥CC₁
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC
又∵AC，CC₁?平面ACC₁A₁，且AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．（6分）
（Ⅱ）解：在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥BD，
又在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵AC∩AA₁=A，∴BD⊥平面ACC₁A₁，
∴∠BC₁O為直線BC₁與平面ACC₁A₁所成的角，
由題意知∠BC₁O=30°，
∴直線BC₁與平面ACC₁A₁所成角為30°．（12分）

點評 本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，考查數(shù)形結合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．