已知橢圓
:
的左、右焦點分別為
、
,橢圓上的點
滿足
,且△
的面積為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓
的左、右頂點分別為
、
,過點
的動直線
與橢圓
相交于
、
兩點,直線
與直線
的交點為
,證明:點
總在直線
上.
(Ⅰ)橢圓
的方程為
;(Ⅱ)詳見解析.
試題分析:(Ⅰ)由焦點坐標知:
.又橢圓上的點
滿足
,由
可求得
,再由勾股定理可求得
,從而求得
.再由
求得
,從而得橢圓的方程.(Ⅱ)首先考慮
與
軸垂直的情況,此時可求出直線
與直線
的交點為
,
的方程是:
,代入驗證知點
在直線
上.當直線
不與
軸垂直時,設(shè)直線
的方程為
,點
、
,
,則
,
,要證明
共線,只需證明
,即證明
.
若
,顯然成立;若
, 即證明
而
,這顯然用韋達定理.
試題解析:(Ⅰ)由題意知:
, 1分
橢圓上的點
滿足
,且
,
.
,
.
2分
又
3分
橢圓
的方程為
. 4分
(Ⅱ)由題意知
、
,
(1)當直線
與
軸垂直時,
、
,則
的方程是:
,
的方程是:
,直線
與直線
的交點為
,
∴點
在直線
上. 6分
(2)當直線
不與
軸垂直時,設(shè)直線
的方程為
,
、
,
由
得
∴
,
7分
,
,
共線,∴
8分
又
,
,需證明
共線,
需證明
,只需證明
若
,顯然成立,若
, 即證明
∵
成立, 11分
∴
共線,即點
總在直線
上. 12分
練習冊系列答案
相關(guān)習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知拋物線
的焦點為
,過點
的直線
交拋物線
于點
,
.
(Ⅰ)若
(點
在第一象限),求直線
的方程;
(Ⅱ)求證:
為定值(點
為坐標原點).
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
:
(
)過點
,且橢圓
的離心率為
.
(Ⅰ)求橢圓
的方程;
(Ⅱ)若動點
在直線
上,過
作直線交橢圓
于
兩點,且
為線段
中點,再過
作直線
.證明:直線
恒過定點,并求出該定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
在平面直角坐標系
中,已知過點
的橢圓
:
的右焦點為
,過焦點
且與
軸不重合的直線與橢圓
交于
,
兩點,點
關(guān)于坐標原點的對稱點為
,直線
,
分別交橢圓
的右準線
于
,
兩點.
(1)求橢圓
的標準方程;
(2)若點
的坐標為
,試求直線
的方程;
(3)記
,
兩點的縱坐標分別為
,
,試問
是否為定值?若是,請求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
橢圓
與雙曲線
有公共的焦點,過橢圓E的右頂點作任意直線l,設(shè)直線l交拋物線
于M、N兩點,且
.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點,點P關(guān)于原點O的對稱點為A、關(guān)于x軸的對稱點為Q,線段PQ與x軸相交于點C,點D為CQ的中點,若直線AD與橢圓E的另一個交點為B,試判斷直線PA,PB是否相互垂直?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓
的方程為
,雙曲線
的左、右焦點分別為
的左、右頂點,而
的左、右頂點分別是
的左、右焦點。
(1)求雙曲線
的方程;
(2)若直線
與橢圓
及雙曲線
都恒有兩個不同的交點,且L與的兩個焦點A和B滿足
(其中O為原點),求
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
,則方程
表示的曲線不可能是( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知拋物線
上一點P到y(tǒng)軸的距離為5,則點P到焦點的距離為( )
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
橢圓
內(nèi)有一點
,過點
的弦恰好以
為中點,那么這條弦所在直線的斜率為
,直線方程為
.
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