Question

如圖，直二面角D-AB-E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B-AC-E的正弦值；
（3）求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,點、線、面間的距離計算

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出BF⊥AE，CB⊥AB，從而得到CB⊥平面ABE，由此能夠證明AE⊥平面BCE．
（2）以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過點O平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AC-E的正弦值．
（Ⅲ）求出

AD

=（0，0，2），由此利用向量法能求出點D到平面ACE的距離．

解答： （1）證明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，
∵二面角D-AB-E為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，
∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE．
（2）解：以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，
AB所在直線為y軸，過點O平行于AD的直線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
∵AE⊥平面BCE，BE?平面BCE，∴AE⊥BE，
在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，
∴OE=1，∴A（0，-1，0），E（1，0，0），C（0，1，2），
∴

AE

=（1，1，0），

AC

=（0，2，2），
設平面AEC的一個法向量為

n

=(x，y，z)，
則

AE • n =0 AC • n =0

，即

x+y=0 2y+2z=0

，
取x=1，得

n

=（1，-1，1），
又平面BAC的法向量為

m

=（1，0，0），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
設二面角B-AC-E的平面角為θ，
則sinθ=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角B-AC-E的正弦值為

6

3

．
（Ⅲ）解：∵AD∥z軸，AD=2，
∴

AD

=（0，0，2），
∴點D到平面ACE的距離：
d=

| AD • n |

| n |

=

2

3

=

2

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，考查點到平面的距離的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．